場合の数で手が止まるのは、計算ではなくどちらの公式を使うかの判断です。
ここを機械的に決められるようにします。
判断は、この一問だけです
並べ替えたら、別のものになりますか。
- はい（順番が意味を持つ） → 順列
- いいえ（順番は関係ない） → 組み合わせ
これだけです。公式を思い出す前に、必ずこれを自問してください。
具体例で確かめます
順列になる例
5人から、会長・副会長・書記を1人ずつ選ぶ
AさんとBさんを入れ替えると、会長が変わります。別のものになるので順列です。
組み合わせになる例
5人から、代表3人を選ぶ
AさんとBさんを入れ替えても、選ばれた3人は同じです。同じものなので組み合わせです。
同じ「5人から3人」でも、役職がつくかどうかで答えが変わります。問題文に役職・順位・席順が出てきたら順列、組・チーム・選ぶだけなら組み合わせです。
数え方
順列は、順に減らしながら掛けます。
5人から3人を並べる ＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60通り
1人目は5人から、2人目は残り4人から、3人目は残り3人から。それだけです。
組み合わせは、順列を「並べ替えの数」で割ります。
5人から3人を選ぶ ＝ (5 × 4 × 3) ÷ (3 × 2 × 1) ＝ 10通り
なぜ割るのか。3人を並べる方法が 3 × 2 × 1 ＝ 6通りあり、順列ではそれを全部別々に数えてしまっているからです。同じ3人組を6回ずつ数えているので、6で割って1回分に戻します。
ここを理解しておくと、公式を忘れても導けます。
覚えておくと速い形
SPIでよく出る形を挙げます。
| 問題 | 式 |
|---|---|
| n個から r個を並べる | n × (n−1) × … （r個ぶん掛ける） |
| n個から r個を選ぶ | 並べた数 ÷ (r × … × 1) |
| 円に並べる | (n−1) × … × 1（1人を固定する） |
| 同じものを含む並べ替え | 全部の並べ方 ÷ 同じものの並べ方 |
円形の問題で1人を固定するのは、回しても同じ並びは1通りと数えるからです。
よくある勘違い
「選ぶ、と書いてあれば組み合わせ」 — 違います。「3人を選んで1列に並べる」なら順列です。言葉ではなく、並べ替えて別物になるかで判断してください。
「組み合わせのほうが数が多い」 — 逆です。順列は並べ方まで数えるので、必ず組み合わせ以上になります。
「公式を覚えないと解けない」 — 順に減らして掛け、必要なら割る。この2つだけで足ります。
たしかめ
6人の中から、掃除当番を2人選びます。何通りありますか。 また、6人の中から、班長と副班長を1人ずつ選ぶ場合は何通りでしょうか。
掃除当番は、2人に区別がありません。組み合わせです。
(6 × 5) ÷ (2 × 1) ＝ 15通り
班長と副班長は、入れ替えると別の結果になります。順列です。
6 × 5 ＝ 30通り
同じ「6人から2人」でも、ちょうど2倍の差が出ます。これが「並べ替えの数で割る」の意味です。
まとめ
- 並べ替えて別物になるなら順列、同じなら組み合わせ
- 順列は、順に減らしながら掛ける
- 組み合わせは、それを並べ替えの数で割る
- 「選ぶ」という言葉ではなく、中身で判断する